Với dòng điện một chiều

Phân tích đơn giản nhất của mô hình Drude giả định rằng điện trường E đều và không đổi, và tốc độ chuyển động nhiệt của các electron đủ lớn để chúng nhận động lượng dp sau mỗi va chạm, xảy ra trung bình trong τ giây . [note 1]

Sau đó, một electron bị cô lập tại thời điểm t sẽ chuyển động trong thời gian τ kể từ sau lần va chạm trước của nó, và nó lại tích lũy thêm động lượng.

Δ ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}

Trong lần va chạm cuối cùng của nó, electron này sẽ có khả năng bị bật về phía trước cũng như lùi lại, vì vậy mọi đóng góp trước đó cho động lượng của electron có thể bị bỏ qua, dẫn đến biểu thức

⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}

Thế vào hệ thức

⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,} J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}

dẫn đến định luật Ohm:

J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}

Phân tích sự biến thiên theo thời gian

Mật độ dòng điện trong điện trường AC.

Động lực học có thể mô tả bằng cách thêm một lực kéo hiệu dụng. Tại thời điểm t = t0 + dt, động lượng trung bình của electron là

⟨ p ( t 0 + d t ) ⟩ = ( 1 − d t τ ) ( ⟨ p ( t 0 ) ⟩ + q E d t ) , {\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt\right),}

Với một chút biến đổi đại số và bỏ các số hạng của dt2, dẫn đến phương trình vi phân

d d t ⟨ p ( t ) ⟩ = q E − ⟨ p ( t ) ⟩ τ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}

với ⟨p⟩ là động lượng trung bình và q điện tích của electron. Đây là một phương trình vi phân không đồng nhất, có nghiệm

⟨ p ( t ) ⟩ = q τ E ( 1 − e − t / τ ) + ⟨ p ( 0 ) ⟩ e − t / τ {\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\tau }}

Nghiệm trong trạng thái ổn định , d ⟨p⟩/dt = 0

⟨ p ⟩ = q τ E . {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}

Như trên, động lượng trung bình có thể liên quan đến vận tốc trung bình và có thể liên quan đến mật độ dòng điện

⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,} J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}

cho thấy các vật liệu thỏa mãn định luật Ohm

J = σ 0 E {\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }

với độ dẫn điện DC σ0 :

σ 0 = n q 2 τ m {\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}

Với dòng điện xoay chiều

Độ dẫn điện đối với các tần số khác nhau giả sử τ = 10−5 và σ0 = 1

Mô hình Drude cũng có thể dự đoán dòng điện chịu ảnh hưởng bởi một điện trường phụ thuộc thời gian với một tần số góc ω. Độ dẫn điện là

σ ( ω ) = σ 0 1 + i ω τ = σ 0 1 + ω 2 τ 2 − i ω τ σ 0 1 + ω 2 τ 2 . {\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}-i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}

Ở đây người ta giả định

E ( t ) = ℜ ( E 0 e i ω t ) ; {\displaystyle E(t)=\Re \left(E_{0}e^{i\omega t}\right);} J ( t ) = ℜ ( σ ( ω ) E 0 e i ω t ) . {\displaystyle J(t)=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}\right).}

Lưu ý, trong các quy ước khác, được sử dụng bởi các kỹ sư, i được thay thế bằng −i (hoặc −j ) trong tất cả các phương trình, phản ánh độ lệch pha so với gốc. Phần ảo chỉ ra rằng dòng dòng điện có sau điện trường, vì các electron cần khoảng một thời gian τ để tăng tốc để đáp ứng lại sự thay đổi của điện trường. Ở đây mô hình Drude được áp dụng cho các điện tử; nó có thể áp dụng cho cả electron và lỗ trống; tức là các hạt mang điện tích dương trong chất bán dẫn. Các đường σ(ω) được thể hiện trong đồ thị.

Nếu một điện trường hình sin dao động với tần số ω {\displaystyle \omega } được áp dụng cho vật rắn, các electron tích điện âm hoạt động như một plasma có xu hướng di chuyển một khoảng x cách xa mặt tích điện dương. Kết quả là, mẫu vật bị phân cực và sẽ có một số điện tích dư thừa ở các bề mặt đối diện của mẫu. Hằng số điện môi của mẫu vật được biểu thị bằng

ϵ = D ϵ 0 E = 1 + P ϵ 0 E {\displaystyle \epsilon ={\frac {D}{\epsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\epsilon _{0}E}}} ϵ = D ϵ 0 E = 1 + P ϵ 0 E {\displaystyle \epsilon ={\frac {D}{\epsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\epsilon _{0}E}}}

D {\displaystyle D} là độ điện dịch và P {\displaystyle P} là mật độ phân cực . Mật độ phân cực được viết thành

P ( t ) = ℜ ( P 0 e i ω t ) {\displaystyle P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\omega t}\right)} P ( t ) = ℜ ( P 0 e i ω t ) {\displaystyle P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}

và mật độ phân cực với mật độ điện tử n là

P = − n e x {\displaystyle P=-nex}

Sau một chút biến đổi đại số, mối quan hệ giữa mật độ phân cực và điện trường có thể được biểu thị bằng

P = − n e 2 m ω 2 E {\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}

Hàm điện môi phụ thuộc tần số của vật rắn là

ϵ ( ω ) = 1 − n e 2 ϵ 0 m ω 2 {\displaystyle \epsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\epsilon _{0}m\omega ^{2}}}}

Ở tần số cộng hưởng ω p {\displaystyle \omega _{\rm {p}}} , được gọi là tần số plasma, hàm điện môi thay đổi từ âm sang dương và phần thực của hàm điện môi giảm xuống không.

                              ω                                    p                                      =                                                            n                                  e                                      2                                                                                                ϵ                                      0                                                  m                                                          {\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\epsilon _{0}m}}}}   

Tần số plasma đại diện cho một cộng hưởng dao động plasma hoặc plasmon . Tần số plasma có thể được sử dụng như một thước đo trực tiếp của căn bậc hai mật độ của các electron hóa trị trong chất rắn. Các giá trị quan sát phù hợp với dự đoán lý thuyết đối với một số lượng lớn các vật liệu. [5] Dưới tần số plasma, hàm điện môi là âm và trường không thể xuyên qua mẫu. Ánh sáng có tần số góc dưới tần số plasma sẽ bị phản xạ hoàn toàn.

Trong vật liệu thực

Trong một kim loại thông thường (ví dụ natri, bạc hoặc vàng ở nhiệt độ phòng) không tìm thấy tính chất như vậy, vì tần số đặc trưng τ−1 nằm trong dải tần hồng ngoại, trong đó các tính chất khác không được xem xét trong Mô hình Drude (như cấu trúc band ).[6] Nhưng đối với một số vật liệu khác có tính chất kim loại, độ dẫn phụ thuộc vào tần số gần với dự đoán của Drude cho σ(ω). Đây là những vật liệu tần số đặc trưng τ−1 ở tần số thấp hơn nhiều. [6] Đây là trường hợp của một số tinh thể bán dẫn pha tạp nhất định, [7] khí điện tử hai chiều có độ linh động cao, [8] và kim loại fermion nặng. [9]